黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》用科普的语言、用抽丝剥茧的方式讲述了黎曼猜想提出后一百多年里的方方面面。这使得对数学知识知之不多的读者了解黎曼猜想也成为可能。作者讲述了曾经从事过黎曼猜想的著名数学家的生平趣事和在黎曼猜想研究方面所做的贡献，介绍了100多年里相关数学理论和工具的发展情况。人们常常将好的数学问题比喻成会下蛋的母鸡，以此形容好的数学问题在数学发展过程中的推动作用。从这样的数学问题研究过程中，我们可以管窥数学发展的概貌。因此，阅读本书能够帮助我们了解与黎曼猜想有关的数学进展。而且，本书的文笔力求通俗有趣，比如：“山寨版”黎曼猜想、“豪华版”黎曼猜想等等。相信对数学文化、数学科普感兴趣的读者一定会有所收获。并且这本书对于数学专业人士也不失为一本有趣而有用的读物。

《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）

 一、 哈代的明信片

 二、 黎曼ζ函数与黎曼猜想

 三、 素数的分布

 四、 黎曼的论文--基本思路

 五、 黎曼的论文--零点分布与素数分布

 六、 错钓的大鱼

 七、 从零点分布到素数定理

 八、 零点在哪里

 九、 黎曼的手稿

 十、 探求天书

 十一、 黎曼-西格尔公式

 十二、 休闲课题：围捕零点

 十三、 从纸笔到机器

 十四、 昂贵的葡萄酒

 十五、 更高、更快、更强

 十六、 零点的统计关联

 十七、 茶室邂逅

 十八、 随机矩阵理论

 十九、 蒙哥马利-欧德里兹科定律

 二十、 希尔伯特-波利亚猜想

 二十一、 黎曼体系何处觅

 二十二、 玻尔-兰道定理

 二十三、 哈代定理

 二十四、 哈代-李特尔伍德定理

 二十五、 数学世界的独行侠

 二十六、 临界线定理

 二十七、 莱文森方法

 二十八、 艰难推进

 二十九、 哪里没有零点

 三十、 监狱来信

 三十一、

与死神赛跑的数学家

 三十二、

从模算术到有限域

 三十三、 "山寨版"黎曼猜想

 三十四、 "豪华版"黎曼猜想

 三十五、

未竟的探索

 附录A欧拉乘积公式

 附录B超越ZetaGrid

附录C黎曼猜想大事记

人名索引

术语索引

参考文献

 后记

作者简介卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦大学物理系，毕业后赴美留学，于2000年获美国哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》、《上下百亿年：太阳的故事》、《黎曼猜想漫谈》（获第七届吴大猷科学普及著作原创类金签奖）、《从奇点到虫洞：广义相对论专题选讲》、《小楼与大师：科学殿堂的人和事》（入选“2014中国好书”）、《因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦》、《霍金的派对：从科学天地到数码时代》等，并曾在《南方周末》、《科学画报》、《现代物理知识》、《数学文化》（任特约撰稿人）等报纸、杂志上发表一百多篇科普及专业科普作品。个人网站：http://www.changhai.org/新浪微博：http://www.weibo.com/ChanghaiNews

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六、 错钓的大鱼

　　在黎曼的论文发表之后的初二三十年时间里，他所开辟的这一领域显得十分冷清，没有出现任何重大进展。如果把黎曼论文的全部内涵比作山峰的话，那么在初这二三十年时间里，数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上，只顾着星夜兼程、埋头赶路。那高耸入云的山巅还笼罩在一片浓浓的雾霭之中，正所谓高处不胜寒。但到了1885年，在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲:有人忽然声称自己已经登顶归来！

　　这个人叫做斯蒂尔切斯（ThomasStieltjes，1856—1894），是一位荷兰数学家。1885年，这位当时年方29岁的年轻数学家在巴黎科学院发表了一份简报，声称自己证明了以下结果:

　　M(N)≡∑n

　　这里的μ(n)是我们在第4章末尾提到过的默比乌斯函数，由它的求和所给出的函数M(N)被称为梅尔滕斯函数（Mertensfunction）。这个命题看上去倒是“面善”得很:默比乌斯函数μ(n)不过是一个整数函数，其定义虽有些琐碎，却也并不复杂，而梅尔滕斯函数M(N)不过是对μ(n)的求和，证明它按照O(N1/2)增长似乎不像是一件太困难的事情。但这个其貌不扬的命题事实上却是一个比黎曼猜想更强的结果！换句话说，证明了上述命题就等于证明了黎曼猜想（但反过来则不然，否证了上述命题并不等于否证了黎曼猜想）。因此斯蒂尔切斯的简报意味着声称自己证明了黎曼猜想。

　　虽然当时黎曼猜想还远没有像今天这么热门，消息传得也远没有像今天这么飞快，但有人证明了黎曼猜想仍是一个非同小可的消息。别的不说，证明了黎曼猜想就意味着证明了素数定理，而后者自高斯等人提出以来折磨数学家们已近一个世纪之久，却仍未得到证明。与在巴黎科学院发表简报几乎同时，斯蒂尔切斯给当时法国数学界的一位重量级人物埃尔米特（CharlesHermite，1822—1901）发去了一封信件，重复了这一声明。但无论在简报还是在信件中斯蒂尔切斯都没有给出证明，他说自己的证明太复杂，需要简化。

　　换作是在今天，一位年轻数学家开出这样一张空头支票，是很难引起数学界的任何反响的。但是19世纪的情况有所不同，因为当时学术界常有科学家做出成果却不公布（或只公布一个结果）的事，高斯和黎曼都是此道中人。因此像斯蒂尔切斯那样声称自己证明了黎曼猜想，却不给出具体证明，在当时并不算离奇。学术界对之的反应多少有点像现代西方法庭所奉行的无罪推定原则，即在出现相反证据之前倾向于相信声明成立。

　　但相信归相信，数学当然是离不开证明的，而一个证明要想得到终的承认，就必须公布细节、接受检验。因此大家就期待着斯蒂尔切斯发表具体的证明，其中期待得诚心实意的当属接到斯蒂尔切斯来信的埃尔米特。埃尔米特自1882年起就与斯蒂尔切斯保持着通信关系，直至12年后斯蒂尔切斯过早地去世为止。在这期间两人共交换过432封信件。埃尔米特是当时复变函数论的大家之一，他与斯蒂尔切斯的关系堪称数学史上一个比较奇特的现象。斯蒂尔切斯刚与埃尔米特通信时还只是莱顿天文台（LeidenObservatory）的一名助理，而且就连这个助理的职位还是靠了他父亲（斯蒂尔切斯的父亲是荷兰著名的工程师兼国会成员）的关照才获得的。在此之前他在大学里曾三度考试失败。好不容易“拉关系、走后门”进了天文台，斯蒂尔切斯却“身在曹营心在汉”，手上干着天文观测的活，心里惦记的却是数学，并且给埃尔米特写了信。照说当时一无学位、二无名声的斯蒂尔切斯要引起像埃尔米特那样的数学元老的重视是不容易，甚至不太可能的。但埃尔米特是一位虔诚的天主教徒，他恰巧对数学怀有一种奇特的信仰，他相信数学存在是一种超自然的东西，寻常的数学家只是偶尔才有机会了解数学的奥秘。那么，什么样的人能比“寻常的数学家”更有机会了解数学的奥秘呢？埃尔米特凭着自己的神秘主义眼光找到了一位，那就是默默无闻的观星之人斯蒂尔切斯。埃尔米特认为斯蒂尔切斯具有上帝所赐予的窥视数学奥秘的眼光，他对之充满了信任。在他与斯蒂尔切斯的通信中甚至出现过“你总是对的，我总是错的”那样的赞许。在这种奇特信仰与19世纪数学氛围的共同影响下，埃尔米特对斯蒂尔切斯的声明深信不疑。

　　但无论埃尔米特如何催促，斯蒂尔切斯始终没有公布他的完整证明。一转眼5年过去了，埃尔米特对斯蒂尔切斯依然“痴心不改”，他决定向对方“诱之以利”。在埃尔米特的提议下，法国科学院将1890年数学大奖的主题设为“确定小于给定数值的素数个数”。这个主题读者们想必有似曾相识的感觉，是的，它跟我们前面刚刚介绍过的黎曼那篇论文的题目十分相似。事实上，该次大奖的目的就是征集对黎曼那篇论文中提及过却未予证明的某些命题的证明（这一点明确写入了征稿要求之中）。至于那命题本身，则既可以是黎曼猜想，也可以是其他命题，只要其证明有助于“确定小于给定数值的素数个数”即可。在如此灵活的要求下，不仅证明黎曼猜想可以获奖，就是证明比黎曼猜想弱得多的结果——比如素数定理——也可以获奖。在埃尔米特看来，这个数学大奖将毫无悬念地落到斯蒂尔切斯的腰包里，因为即便斯蒂尔切斯对黎曼猜想的证明仍然“太复杂，需要简化”，他依然能通过发表部分结果或较弱的结果而领取大奖。

　　可惜直至大奖截止日期终了，斯蒂尔切斯依然毫无动静。

　　但埃尔米特也并未完全失望，因为他的学生阿达马提交了一篇论文，领走了大奖——肥水总算没有流入外人田。阿达马获奖论文的主要内容正是我们在第5章中提到过的对黎曼论文中辅助函数ξ(s)的连乘积表达式的证明。这一证明虽然不仅不能证明黎曼猜想，甚至离素数定理的证明也还有一段距离，却仍是一个足可获得大奖的进展。几年之后，阿达马再接再厉，终于一举证明了素数定理。埃尔米特放出去的这根长线虽未能如愿钓到斯蒂尔切斯和黎曼猜想，却错钓上了阿达马和素数定理，斩获亦是颇为丰厚（素数定理的证明在当时其实比黎曼猜想的证明更令数学界期待）。

　　那么斯蒂尔切斯呢？没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙，事实却不然。斯蒂尔切斯在分析与数论的许多方面都做出过重要贡献。他在连分数方面的研究为他赢得了“连分数分析之父”的美誉；挂着他名字的黎曼·斯蒂尔切斯积分（Riemann·Stieltjesintegral）更是将他与黎曼的大名联系在了一起（不过两人之间并无实际联系——黎曼去世时斯蒂尔切斯才10岁）。但他那份哈代明信片式的有关黎曼猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。现在数学家们普遍认为斯蒂尔切斯所宣称的关于M(N)=O(N1/2)的证明即便有也是错误的。不仅如此，就连命题M(N)=O(N1/2)本身的成立也已受到了越来越多的怀疑。这是因为比M（N）=O（N1/2）稍强、被称为梅尔滕斯猜想（Mertensconjecture）的命题： M（N）

　　三十、

监狱来信

　　在前面各章中，我们介绍了数学家们在证明黎曼猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。这些尝试有些是数值计算，它们虽然永远也不可能证明黎曼猜想，却有可能通过发现反例而否证黎曼猜想——当然，迄今为止并未有人发现反例；有些则是解析研究，它们具有证明黎曼猜想的潜力，但迄今为止距离目标还很遥远。如果小结一下的话，那么这两类尝试虽然很不相同，却都可以被归为直接手段，因为它们的目标都是黎曼猜想本身。

　　既然这两类直接手段都遇到了困难，那我们不妨来问这样一个问题:除这些直接手段外，还有没有别的手段可以帮我们研究黎曼猜想，或至少带给我们一些启示呢？

　　答案是肯定的。

　　事实上，黎曼猜想虽然是一个极为艰深的难题，但这种长时间无法解决的难题在科学上是并不鲜见的。科学家们对付这种难题的大思路其实很简单，那就是直接手段行不通时，就采用间接手段。当然，大思路虽然简单，具体采取什么样的间接手段，可就大有讲究了。一般来说，常用的间接手段有两类:类是研究与原问题相等价的问题——那样的问题一旦被解决，原问题自然也就解决了；除了研究等价问题外，人们有时还会研究比原问题更普遍的问题。有读者可能会问：那样的问题难道不应该与原问题同样困难、甚至更困难吗？是的，一般来说，与一个难题相等价或更普遍的问题本身也不太可能是省油的灯。但是，解决难题往往需要灵感，而不同的问题（哪怕是等价的问题）所能激发的灵感是不同的，因此研究那样的问题有时能起到意想不到的作用。第二类则是研究与原问题相类似、但却更简单的问题——这类手段虽不能解决原问题，却有可能带给我们启示。更重要的是，在原问题实在太艰深时，这类手段往往比其他手段更具可行性。

　　就目前我们对黎曼猜想的了解而言，它看来是属于那种“原问题实在太艰深”的情形，因此我们要介绍的间接手段是“往往比其他手段更具可行性”的第二类间接手段。这类手段在科学研究中有着广泛的应用。比如物理学家们遇到很困难的三维空间中的问题时，往往转而研究二维、一维，甚至零维空间中与原问题相类似的问题。又比如生物学家们从事一些不宜在人体上作尝试的研究时，往往转而用动物作为研究对象。近比较热门的用凝聚态体系模拟基础问题的做法，也是第二类间接手段的例子。这方面的一个例子，是利用石墨烯（graphene）中的电子运动与相对论量子力学中无质量粒子运动的类似性，来研究后者。此外，2009年受到过一些媒体关注的用特定流体中的声子运动来模拟黑洞附近的光子行为的所谓“声学黑洞”（sonicblackhole）研究也是一个例子。这类手段通俗地讲，其实就是研究“山寨版”的问题。只不过与经济领域中的“山寨版”产品被四处喊打不同，科学领域中的“山寨版”问题不仅不违规，对它们的研究还广受鼓励。有时候，在“山寨版”问题上的突破，甚至能成为重大的科学成就，并获得重大的科学奖项。黎曼猜想就是一个很好的例子，它的艰深与重要，使得“山寨版”的黎曼猜想也“鸡犬升天”，变成了非同小可的问题，研究或解决它的数学家甚至可以获得数学界的奖，堪称是牛的“山寨版”。需要补充说明的是，“山寨版”黎曼猜想的重要性并不仅仅来自“正版”黎曼猜想的艰深与重要，它本身以及它与其他数学领域的关联也有着不容忽视的重要性。

　　为了介绍这种牛的“山寨版”，让我们把时光暂时拉回到1940年。

　　1940年4月，著名的法国几何学家埃里·嘉当（·lieCartan，1869—1951）收到了一封奇怪的信件，它的寄信人地址是位于法国海滨城市鲁昂（Rouen）的一座军事监狱。

　　一位著名数学家居然收到一封来自监狱的信件，那会是什么样的信件呢？照常理来说，的可能性是某位民间“科学家”（简称民科）的杰作，对于法国数学家，情况尤其如此。因为在这方面，法国科学院（FrenchAcademy ofSciences）可谓是开了风气之先——自从一个多世纪前它为费马大定理悬赏以来，民科信件便如雪片般地飞向了法国数学家的手里。那热情，就连一百多年的时光也不足以使之熄灭。自那以后，知名法国数学家收到民科来信就不再是新鲜事了。不过嘉当收到的这封信件却有些不同，它的寄信人地址虽然很“民间”，笔迹却颇为熟悉，因为那笔迹属于一位真正的数学家。那数学家不仅嘉当认识，更是他那数学家儿子昂利·嘉当（HenriCartan，1904—2008）的好朋友。那位数学家叫做韦伊（AndréWeil，1906—1998），他一生的许多重要工作虽然还有待于此刻拿在嘉当手里的这封监狱来信来揭开序幕，但当时的他就已在代数、分析、数论等诸多领域中享有了一定的声誉。五年前，他还与几位志同道合的年轻数学家（其中包括昂利·嘉当）一同，创立了一个后来大名鼎鼎的数学学派——布尔巴基学派。

　　嘉当对笔迹的细心留意使那封监狱来信免遭了被弃之垃圾桶的命运，也为我们的黎曼猜想之旅增添了一段新的故事。

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我还想谈一点意见：仅从题意表面来看，RH只是研究一个特殊的亚纯函数zeta(s)的零点性质。

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《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》由原点阅读出品。

原点阅读（The Origin）（微信号：ydreadtup），清华大学出版社旗下的图书品牌，秉承“科学，让个人更智慧，让社会更理性”的理念，致力于科学普及和科技文化类图书的出版，传播科学知识、科学精神、科学方法，展现科学的真实、独立、智慧、多变、宽容、动人及迷人。

媒体评论

沉下心读此书，阅读体验美不胜收，不知不觉中就读完了，有读武侠的快感，一拿起就难以放下。终于搞懂了长期以来想了解的黎曼零点的意义，有这样深度的科普著作真是难得！

——微博读者 阿蒙

如果你看不懂里面的数学描述，其他部分的内容也足够抓住你的心，你能看到百年间全世界的精英数学家一步步逼近黎曼猜想*后的证明。

——豆瓣读者 勤快卓克

很喜欢昌海兄的写作态度和行文风格，有量更有质。看这个黎曼猜想的系列也很久了，真是对数学中的东西开了眼界，呵呵。

——知乎读者 woodswan

很精彩，读者可以了解历史上科学家们的不懈探索和惊人才智。感谢作者源源不断地提供通俗易懂的高质量科普。——果壳网读者

letter

一个中国物理学家写的，有些东西我也是头一回知道，对于一个科普类书，即使专业人士看了也不虚此行。——亚马逊读者 yangpeng

前言

随着公众数学水平的逐渐提高，越来越多的人知道黎曼（Riemann）猜想这个问题，我们将它记为RH。特别是RH曾被希尔伯特（Hilbert）列入他的二十三个问题的第八问题，现在又被列为克莱数学研究所提出的千禧年七大待解决难题之一，备受关注。不少人已经知道RH是数学中号重要问题。但RH是个什么问题？为什么重要？至今似未见一篇有相当深度的普及文章来加以解释，常常需要参见数学专业著作与文献，才能得知一些。因此，一般人恐怕仅仅只知道有这么一个问题而已。卢昌海在《数学文化》上的六期连载文章《黎曼猜想漫谈》，对RH相关问题作了详细的解释。文章中关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事，以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一篇很好的雅俗共赏的数学普及文章。数学普及文章要紧的是严谨性，有一些普及文章像在讲故事，不谈数学本身，从而读者在读完后，会觉得不知其所以然，一头雾水。《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）黎曼猜想漫谈二RH发端于黎曼在1859年的一篇文章，其历史远比费马（Fermat）大定理（FLT）与哥德巴赫（Goldbach）猜想（GC）的历史短得多，而且不像这两个问题那样，只要有中小学数学知识的人，就知道其题意。要了解RH的题意，则至少需要知道亚纯函数的含义。所谓黎曼ζ函数 ζ(s)（s=σ it）是一个复变函数，它在右半平面σ>1上由一个收敛的级数ζ(s)=∑∞n=11ns（σ>1）来定义。所以，ζ(s)在σ>1上是全纯的。它在左半平面σ≤1上的情况如何呢？则需要将ζ(s)解析延拓至全平面，延拓后的ζ(s)是一个s平面上的亚纯函数，它只在s=1处有一个残数为1的1阶根。ζ(s)仅在左半平面s≤1上有零点s=－2n（n=1,2,…）。这些零点称为ζ(s)的平凡零点，剩下的零点则位于狭带0≤σ≤1之中，这些零点称为ζ(s)的非平凡零点。所谓RH是说: 〖1〗ζ (s)的非平凡零点都位于直线σ=1/2之上。RH与素数在自然数中的分布密切相关。我想一般关于RH的普及文章也就讲到这里了。卢昌海的文章从这里讲起，他介绍了ζ(s)的开端，即欧拉（Euler）关于ζ(s)的工作，其中s为实变数，及高斯（Gauss）关于不超过x的素数个数π(x)的猜想π(x)～∫x2dtlogt=Li(x)，这是素数分布的中心问题。独立于高斯，勒让德（Legendre）也对π(x)作了猜想π(x)～xlogx－1.08366。由于Li(x)～xlogx－1.08366～xlogx，所以我们称π(x)～xlogx为“素数定理”。素数定理已由阿达马（Hadamard）与德·拉·瓦·布桑（de la Valee Poussin）于1896年独立地证明了。但人们期望有一个具有精密误差项的素数定理。可以证明用高斯的猜想公式比勒让德的猜想公式的误差项要精确得多。在RH之下，可以证明π(x)=Li(x) O(xlogx)。反之，由这个公式也可以推出RH。所以，这个公式可以看作RH的算术等价形式。由此足见RH的重要性了。然后，卢昌海的文章深入到了ζ(s)较近代的重要研究: 其实，黎曼的文章中还包括了几个未经严格证明的命题。除了RH之外，都被阿达马与曼戈尔特（Mangoldt）证明了，只剩下现在所谓的RH。命N(T)表示ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0<t<T中的零点个数，黎曼作了猜想N(T)～T2πlogT2π。这个结果已由曼戈尔特证明。命N0(T)表示在线段σ=12，0<t<T上，ζ(s)的零点个数，则塞尔伯格（Selberg）证明了，存在正常数c与T0使N0(T)>cN(T)(T>T0)。这个结果是非常惊人的。它说明了ζ(s)在线段σ=12，0<t<T上的零点个数与它在矩形0≤σ≤1，0<t<T上的零点个数相比，占有一个正密度，而线段的二维测度为零。卢昌海还介绍了往后数学家关于c的估计的重要工作:  c≥13（莱文森（Levinson））与c≥25（康瑞（Conrey））。卢昌海用了相当多的篇幅介绍了ζ(s)的非平凡零点的计算方法与大量的计算结果。这两方面的成果，大大加强了人们对RH正确性的可信度。三黎曼ζ函数ζ(s)与RH都是“原型”，有不少ζ(s)与RH的类似及推广。这些类似及推广都有强烈的数学背景。卢昌海的文章中谈到了这个问题，即他所谓的RH的“山寨版”与“豪华版”。所谓山寨版，就是RH的某种类似，而豪华版则为RH的某种推广。无论是山寨版，还是豪华版，其数学背景都是极其重要的。卢昌海介绍了有限域Fq上的平面代数曲线对应的RH，即每一条满足一定条件的代数曲线都对应于一个L函数，它们的零点都位于直线σ=12上。这一命题已由韦伊（Weil）证明，而且韦伊对于高维代数簇的RH也作了猜想。这个猜想已由德利涅（Deligne）证明。这些无疑都是20世纪伟大的数学成就之一。据我所知韦伊与德利涅的结果对解析数论就有极大的推动。例如，由韦伊证明的RH可以推出模素数p的克卢斯特曼（Kloosterman）和与完整三角和的阶估计∑p－1x=1e2πi(cx dx-)/p≤2p（p|/cd，xx-≡1（modp））与∑p－1x=1e2πi(akxk … a1x)/p≤kp（p|/ak）。长期以来，对这两个问题都只能得到较弱的估计。又如命n(p)表示模p的小二次非剩余，则由韦伊的结果，布尔吉斯（Burgess）证明了n(p)=Oεp14e ε，其中ε>0为任意给予的正数。过去n(p)的阶为Oεp12e ε。由德利涅的结果可以推出拉马努金（Ramanujan）的一个著名猜想。韦伊的RH的算术形式为代数曲线在Fq上的点数公式的误差为O(q1/2)。这是可能估计，称为“韦伊界”。卢昌海介绍了所谓RH的豪华版，指的是狄利克雷（Dirichlet）L函数对应的RH类似与戴德金（Dedekind）L函数的RH类似。由于这两个L函数均以黎曼ζ函数为特例，所以它们对应的RH称为广义黎曼猜想，记为GRH或ERH。介绍狄利克雷L函数时，先需要引进所谓狄利克雷特征χ(n)modq。级数L(s,χ)=∑∞n=1χ(n)ns（s=σ it，σ>1）是收敛的。它也可以解析延拓至s全平面。它是s平面上的亚纯函数。这就是模q的狄利克雷L函数L(s,χ)。所谓GRH就是〖1〗所有L(s,χ)的非平凡零点都位于直线σ=12上。当χ为主特征时，L(s,χ)本质上就是ζ(s)，它们仅相差一个仅依赖于q的常数倍数。戴德金L函数是在一个代数数域K上定义的。这里就不详细讲了。当K=Q为有理数域时，戴德金L函数就是黎曼ζ函数。所谓GRH就是戴德金L函数的非平凡零点都位于σ=1/2上。与RH类似，由狄利克雷L函数的GRH可以推出: 当(l,q)=1时，令算术数列l kq（k=0,1,2,…）中，不超过x的素数个数为π(x,q,l)，则π(x,q,l)=1φ(q)Li(x) O(xlogx)此处φ(q)表示欧拉函数。当q=1时，即π(x,1,1)=π(x)。上式就是RH。这是狄利克雷L函数的GRH之算术形式。由戴德金L函数的GRH可以推出代数数域K中的有误差主阶的素理想定理。这也是戴德金L函数的GRH的算术形式。当K=Q时，即为RH。但也不是关于ζ(s)的结果都对L(s,χ)有相应的结果。例如关于ζ(s)的无零点区域估计，对于二次特征χ2对应的狄利克雷L函数L(s,χ2)有无这样类似区域估计就不知道了。对此，西格尔（Siegel）关于L(s,χ2)的非平凡实零点的估计在解析数论中就是非常重要的。GRH有极强的数学背景。下面就解析数论领域再举几个例子。20世纪重要的解析数论成果之一是维诺格拉多夫（Vinogradov）证明的关于GC的“三素数定理”，即〖1〗每个充分大的奇数都是三个素数之和。其实，这个结果早已由哈代（Hardy）与利特尔伍德（Littlewood）在狄利克雷L函数的GRH之下证明了。维诺格拉多夫的工作就是发展了以素数为变数的指数和估计方法，从而取消了三素数定理证明中的GRH。中国数学家的著名结果之一是关于GC的所谓“陈氏定理”，即〖1〗每个充分大的偶数都是一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。其实，早于陈景润，中国在这方面已研究了十多年，总是先假定了狄利克雷L函数的GRH，做出关于GC的结果，然后再设法取消证明中的GRH。再以n(p)的估计为例。在狄利克雷L函数的GRH之下有估计n(p)=O(log2p），这就比山寨版的RH的推论强得太多了。四卢昌海文章中用了很大篇幅谈到研究RH的尚未成功的（即未得到确定结果的）一些想法与尝试。卢昌海文章中亦用了很大篇幅谈了一些关于RH的美丽的传说。这些传说，我本人也听过一点。例如韦伊在中科院访问作的次报告就是讲他的山寨版RH。报告一开始，他就说:  “曾经希望证明RH，但不发表，待RH提出一百年时再发表，现在只能希望在RH提出二百年时，再见到它的证明了。”塞尔伯格在访问中科院时的一次宴会上说: “FLT与GC本身都没有什么用。”我说: “研究它们带动了一些新方法的产生。”他说: “那是。”这个观点在卢昌海的文章中也提到了。这些传说都是非常美丽的，人们津津乐道。五卢昌海的文章还有以下优点:  在讲到一些重大结果时，作者对这些结果的重要前期成就都作了介绍。例如素数定理，塞尔伯格关于σ=12上的零点个数估计，及韦伊关于山寨版RH的证明等。又为了讲清楚文章中涉及的一些概念，作者还举例子加以说明。例如在解释戴德金L函数时，涉及“理想”这个概念，作者以有理数域Q与二次域作为例子来说明，所以是深入浅出的。我认为数学系本科高年级学生是可以看懂这篇文章所讲的问题、结果与数学概念的含义的。对于专职数学家与教师，甚至数论学家，也值得阅读。我想他们对于RH的了解基本上是在学习与研究数学的过程中，零星的逐渐积累得到的。如果有机会系统地了解一下RH，也会很有好处。因此我愿意向大家推荐卢昌海的文章。我还想谈一点意见:  仅从题意表面来看，RH只是研究一个特殊的亚纯函数ζ(s)的零点性质。从亚纯函数的理论来看，只是一个例子而已。就像研究FLT与GC一样，研究它们的目的主要在于发展数学中的新思想与新方法。形象地说，这两个问题都是数学中“下金蛋的母鸡”。从过去的研究来看，RH当然是数学中下金蛋的母鸡，但研究它的目的，远远不止此。它之所以成为数学中重要问题，主要是由于一系列的数学中的重大问题的解决都依赖于各种RH的解决。一旦这些RH解决了，人类就站在一个不知比现在高多少的数学平台上，看到更远得多的风景。到底各种RH可以推出多少数学结果？要求弄清楚这么多东西恐怕是太难了。如果卢昌海这篇文章还要继续写下去，也许可以考虑写各种RH的推广。这会使读者更能了解到解决各种RH的巨大意义。后，我愿借此机会祝卢昌海文章成功，并盼望见到它能够成书出版，使更多读者能读到，并从中受益。

书籍介绍

史上zui富有创造性的数学家——黎曼。

他奉行恩师高斯的座右铭，宁肯少些，但要成熟。

黎曼生前只发表10篇论文，却是很多领域的开拓者。

他提出的黎曼猜想是数学史上的不朽谜语，被公认为是zui伟大的数学猜想。

作者以非常明晰的数学阐释文字与优雅、生动、有趣的传记和历史篇章交替出现，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。大师留给我们的岂止是一些公式、原理？还有他们对未知世界的探索精神，这都将激发人们对理想和美的追求。

数学家王元院士的评价：“本书关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。”

《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》由原点阅读出品。

原点阅读（The Origin）（微信号：ydreadtup），清华大学出版社旗下的图书品牌，秉承“科学，让个人更智慧，让社会更理性”的理念，致力于科学普及和科技文化类图书的出版，传播科学知识、科学精神、科学方法，展现科学的真实、独立、智慧、多变、宽容、动人及迷人。

《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》用科普的语言、用抽丝剥茧的方式讲述了黎曼猜想提出后一百多年里的方方面面。这使得对数学知识知之不多的读者了解黎曼猜想也成为可能。作者讲述了曾经从事过黎曼猜想的著名数学家的生平趣事和在黎曼猜想研究方面所做的贡献，介绍了100多年里相关数学理论和工具的发展情况。人们常常将好的数学问题比喻成会下蛋的母鸡，以此形容好的数学问题在数学发展过程中的推动作用。从这样的数学问题研究过程中，我们可以管窥数学发展的概貌。因此，阅读本书能够帮助我们了解与黎曼猜想有关的数学进展。而且，本书的文笔力求通俗有趣，比如：“山寨版”黎曼猜想、“豪华版”黎曼猜想等等。相信对数学文化、数学科普感兴趣的读者一定会有所收获。并且这本书对于数学专业人士也不失为一本有趣而有用的读物。