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本书是作者在多年本科教学和考研辅导经验的基础上编写而成的．全书共分为6章，每章包括5个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练．本书编写的主要目的有两个：一是为了满足学生报考研究生的需要；二是帮助学有余力的在校学生更好地学习“线性代数”课程，开阔学习视野，拓展解题思路。本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类，详略得当，帮助考生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举一反三的学习效果．本书既可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“线性代数”课程的深化训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书．

目 录

第1章 行列式1

1.1 知识要点1

1.1.1 排列1

1.1.2 对换1

1.1.3 n阶行列式1

1.1.4 行列式的性质2

1.1.5 余子式、代数余子式2

1.1.6 行列式展开定理2

1.1.7 特殊的行列式的计算3

1.2 典型例题分析4

1.2.1 题型一、排列问题4

1.2.2 题型二、利用定义计算行列式4

1.2.3 题型三、利用性质计算行列式5

1.2.4 题型四、行列式按行或列展开8

*1.2.5 题型五、行列式按拉普拉斯方法展开13

1.3 深化训练13

1.4 深化训练详解17

1.5 综合提高训练23

第2章 矩阵28

2.1 知识要点28

2.1.1 矩阵的概念28

2.1.2 矩阵的运算28

2.1.3 伴随矩阵29

2.1.4 可逆矩阵29

2.1.5 矩阵分块30

2.1.6 分块矩阵的运算31

2.1.7 线性方程组31

2.2 典型例题分析32

2.2.1 题型一、矩阵的乘法及乘法的运算规律32

2.2.2 题型二、伴随矩阵的相关问题35

2.2.3 题型三、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法36

2.2.4 题型四、矩阵的分块及分块运算41

2.2.5 题型五、矩阵方程的求解43

2.2.6 题型六、克莱姆法则的应用44

2.3 深化训练46

2.4 深化训练详解48

2.5 综合提高训练53

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组56

3.1 知识要点56

3.1.1 矩阵的初等变换与初等矩阵56

3.1.2 矩阵的秩56

3.1.3 用初等变换求逆矩阵及解矩阵方程57

3.1.4 线性方程组解的判定定理57

3.2 典型例题分析58

3.2.1 题型一、矩阵的初等变换问题58

3.2.2 题型二、矩阵的秩的求解59

3.2.3 题型三、利用初等变换求矩阵的逆矩阵60

3.2.4 题型四、线性方程组的求解61

3.3 深化训练63

3.4 深化训练详解67

3.5 综合提高训练73

第4章 向量组的线性相关性76

4.1 知识要点76

4.1.1 向量的线性组合（线性表示）76

4.1.2 向量组的线性相关性76

4.1.3 向量组的极大线性无关组的定义与性质77

4.1.4 线性方程组解的结构77

4.1.5 向量空间的概念与性质78

4.2 典型例题分析79

4.2.1 题型一、向量线性表示的相关问题79

4.2.2 题型二、向量组的线性相关性问题80

4.2.3 题型三、极大线性无关组及秩的求解82

4.2.4 题型四、线性方程组解的相关问题84

4.2.5 题型五、向量空间的相关问题92

4.3 深化训练93

4.4 深化训练详解100

4.5 综合提高训练113

第5章 特征值与特征向量、相似矩阵128

5.1 知识要点128

5.1.1 向量的内积、长度及夹角128

5.1.2 正交向量组128

5.1.3 正交矩阵及正交变换129

5.1.4 矩阵的迹129

5.1.5 矩阵的特征值与特征向量130

5.1.6 相似矩阵130

5.1.7 一般矩阵的对角化131

5.1.8 实对称矩阵的对角化131

5.2 典型例题分析132

5.2.1 题型一、向量的内积、长度及正交问题132

5.2.2 题型二、正交矩阵问题133

5.2.3 题型三、特征值与特征向量问题的计算133

5.2.4 题型四、特征值与特征向量的证明问题134

5.2.5 题型五、相似矩阵问题135

5.2.6 题型六、对称矩阵的对角化问题138

5.3 深化训练141

5.4 深化训练详解142

5.5 综合提高训练146

第6章 二次型151

6.1 知识要点151

6.1.1 二次型及其矩阵表示151

6.1.2 二次型的标准形与规范形151

6.1.3 矩阵的合同152

6.1.4 利用正交变换化二次型为标准形152

6.1.5 用配方法化二次型成标准型153

6.1.6 惯性定理153

6.1.7 正定二次型与正定矩阵154

6.1.8 顺序主子式154

6.2 典型例题分析154

6.2.1 题型一、二次型的基本概念问题154

6.2.2 题型二、将二次型化为标准型155

6.2.3 题型三、二次型的规范形的求解157

6.2.4 题型四、矩阵的合同、相似问题158

6.2.5 题型五、二次型（或二次型矩阵）正定性的判定159

6.2.6 题型六、二次型的参数求解问题159

6.2.7 题型七、二次型（二次型矩阵）的证明问题160

6.3 深化训练160

6.4 深化训练详解162

6.5 综合提高训练165

2013年考研试题线性代数考题169

2014年考研试题线性代数考题172

2015年考研试题线性代数考题174

2016年考研试题线性代数考题178

2017年考研试题线性代数考题182

参考文献184

孙阳，首都经济贸易大学优秀主讲教师，现任线性代数课题组组长．硕士毕业于吉林大学概率论与数理统计专业，一直从事本科生的数学教学和考研辅导工作．主讲微积分、线性代数、高等代数、概率论与数理统计、应用数理统计以及考研数学等课程．先后参与编写教材5部，发表教学论文10多篇，有着丰富的考研辅导经验．

　　刘强，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长，兼任全国工业统计学教学研究会常务理事及常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，中国商业经济学会经济数学研究分会常务理事，北京大数据协会理事等；主要从事高等教育教育、考研数学、经济数据分析等方面的教学、科研工作。

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媒体评论

前言

前    言

为了更好地帮助普通高等学校工科类、经管类本科生学好大学数学，同时为了满足众多学生考研的需要，我们结合多年的考研辅导经验，编写了“高等学校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书”，该丛书包括微积分、高等数学、线性代数和概率论与数理统计四门数学课程的辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编．

本书为线性代数分册，内容涵盖了考研“数学一”和“数学三”的全部考点．本书编写的主要目的有两个：一是帮助学有余力的在校学生更好地学习“线性代数”课程，以开阔学习视野，拓展解题思路；二是为了满足学生报考研究生的需要．本书编写紧扣“数学一”和“数学三”考研大纲，贴切考试实际，做到分门别类、详略得当，使考生能在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，综合分析问题、解决问题的能力得到有效提升，达到融会贯通、举一反三的学习效果．

全书共分为6章，每章包括5个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解及综合提高训练．具体模块内容介绍如下．

一、知识要点：本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容．

二、典型例题分析：本模块是作者在多年来考研辅导经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的考研真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．

三、深化训练：本模块精心选编了部分具有代表性的习题及历年的考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三．

四、深化训练详解：本模块对深化训练习题给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维．

五、综合提高训练：本模块的例题综合性较强，有较高的难度和较强的灵活性，通过本模块的学习，提升读者的综合能力和应变能力．

为了便于读者阅读本书，书中的“数学一”要求、“数学三”不要求的内容将用“*”标出，有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用“**”标出．另外为了方便读者查阅，本书在考研真题后面加上了标志，例如【2010（1）】表示该题是2010年硕士研究生入学考试“数学一”考题，【2010（1，3）】表示该题是2010年“数学一”和“数学三”考题等．

本丛书在编写过程中，得到了北京工商大学曹显兵教授，北京工业大学李高荣教授，北方工业大学刘喜波教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授及同事们的大力支持，电子工业出版社高等教育分社的谭海平社长和王二华编辑也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．

由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行们不吝指正．邮件地址为：

cuebliuqiang@163.com

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作  者     

2017年3月